一、反循环矩阵及其逆矩阵的讨论（论文文献综述）
陈曼[1]（2021）在《基于NTRU的数字签名方案研究》文中提出随着云计算,大数据,计算机网络技术的快速发展,密码学在各领域发挥着极其重要的作用.在公钥密码体制中,数字签名是一种非常重要的算法.数字签名确保了消息传输完整性,鉴别和认证发送者身份以及防止交易中抵赖发生.由于数字签名方案满足网络安全目标,在电子商务,电子政务发挥着重要的作用.1994年,研究人员Shor研究发现分解两个大质因数相乘合数的量子算法（Shor算法）,对RSA公钥密码体制产生强烈冲击,引发了量子计算和量子计算机研究的热潮。目前研究特别关注的是寻找一个抗量子攻击数字签名方案.格签名方案由于计算简单高效,抗量子性并且worst-case到avaerage-case困难性相当等优点,作为后量子密码时代签名方案的主要候选者.本文主要基于格的单向困难函数构造数字签名方案.目前,格基数字签名由于秘钥长度,签名长度较大导致方案实现效率较差且算法耗时长.本文设计较小秘钥,签名长度的数字签名方案.本文的主要贡献是:1.首先提出了一种基于NTRU基陷门.本文考虑到NTRU基具有结构性强,存储空间小和高效的算法,选取NTRU基作为短基.通过简单的线性变换之后,生成另一组格基作为公开的秘钥.该方案相较于之前格上的陷门生成算法,效率更高,更实用,生成的单向函数的困难性更高.新陷门生成算法生成的公开格基的长度更小,生成陷门质量更好.2.将LWE求逆和高斯原像抽样算法应用到NTRU基陷门.LWE困难问题在格密码体制的设计中有着重要的作用,最短线性无关向量问题（SIVP）与近似最短向量对应判断性问题（GapSVP）可以由量子规约到LWE问题.已知陷门矩阵的情况下,存在有效的算法解决公开格基的LWE困难问题.本文也利用单向陷门函数设计高斯抽样原像抽样算法.该算法抽样的原像尺寸短,算法运行效率高.3.本文构造了格基数字签名方案.在随机预言模型下,该方案满足选择密文下的不可伪造性攻击.在数字签名阶段,利用公开格基作为公开秘钥进行签名.在数字验证阶段,利用高斯原像抽样获得原像,进行消息验证.该方案相较于之前的格基数字签名方案,需要更低的计算复杂度,更短的秘钥.
秦小蓉[2]（2017）在《关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究》文中指出Toeplitz和Toeplitz相关的线性方程组在数学和工程中的应用越来越广泛,包括信息与图像处理、排队论与控制论、微分方程与积分方程的数值解等,所以系统地考察Toeplitz线性方程组的有效算法,具有重大的科学价值.直接法及迭代法是目前求解此类型线性方程组的两种主要的方法,一般来说直接解法数值不稳定,而迭代解法较之更稳定,并且在实际的Toeplitz线性方程组求解过程中,一个有效的迭代格式能够为Krylov子空间法提供有效的预处理子.这些都极大地鼓舞着科学工作者去探讨快速有效的算法来得到Toeplitz线性方程组的解.本论文主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组Tx = b的迭代解法.众所周知,若T是一个Toeplitz矩阵,那么T存在一个循环与反循环分裂T = C-S,其中C为循环矩阵,S为反循环矩阵（记为CSCS）.基于该CSCS分裂,本文首先构造了古典的CSCS分裂方法,然后进一步提出了带位移的CSCS分裂方法来求解Hermitian正定Toeplitz线性方程组,我们对各种方法的收敛性做了理论分析,为了证明收敛性结论的有效性,我们做了大量数值实验,实验结果表明:（1）若Toeplitz矩阵T分裂形成的的循环反循环矩阵T= C-S为P-正则分裂,则迭代矩阵的谱半径小于1,且原线性方程组收敛于唯一解,另外,与Gauss-Seidel（记为GS）迭代法相比,CSCS迭代具有更快的收敛速度;（2）无论CSCS分裂迭代法是否具有收敛性,都存在一个参数α,使得带位移的CSCS分裂解法收敛速度明显快于Gauss-Seidel法和古典CSCS迭代法,这些更加凸显了我们方法的优越性.本论文总共分为六章,章节介绍如下:第一章是绪论,简要介绍了 Toeplitz线性方程组的研究背景、研究现状、本论文的研究内容以及创新之处.第二章为预备知识,简要介绍文中经常用到的定义、引理及基本性质.第三章主要阐述几种基本的迭代法,有古典迭代法中的Gauss-Seidel、Jacobi、SOR和SSOR迭代法.第四章第一部分主要研究Hermitian正定Toeplitz线性方程组的循环和反循环分裂（CSCS）迭代法,第二部分是关于古典Gauss-Seidel迭代法,并对二者的算法进行了比较.第五章针对Hermitian正定Toeplitz线性方程组提出了一种新的的解法——带位移的循环和反循环分裂迭代法,并分析了其收敛性质.第六章为数值实验,针对不同形式的分裂矩阵,分析数值实验结果并将各种算法进行比较,最后得出结论.
兰文辉[3]（2017）在《几类特殊矩阵相关性质的研究》文中进行了进一步梳理特殊矩阵相关理论在工程计算、自动控制、系统辨识、数值分析以及最优化理论方面都有着相当广泛的应用,研究关于特殊矩阵的一些优良性质已然成为当代数学中矩阵理论和数值代数等方面的热点,并且得到了越来越多学者的关注.因此,对于特殊矩阵类的性质研究,将期待得到一些有益的成果.本文在阅读了大量文献基础之上又更深一步探讨了几类特殊矩阵的一些性质和特征,具体内容包括以下几个部分:第一章主要介绍了三类特殊矩阵,分别是中心对称矩阵、幂等矩阵以及循环矩阵的研究背景、研究意义和国内外研究现状,并给出了本论文的基本结构框架.第二章主要研究了反中心对称矩阵的性质.根据反中心对称矩阵的结构特点,用新的方法证明了某一矩阵为反中心对称矩阵的充要条件及其特征值、特征向量的性质;除此之外,还讨论了反中心对称矩阵的可逆性,得到了奇数阶反中心对称矩阵不可逆的结论,并给出了两种求反中心对称矩阵（偶数阶）逆矩阵的方法.第三章主要研究了体上幂等矩阵的性质,将幂等矩阵在域上的一些性质推广到了体上.分别得到了（1）体上幂等矩阵的4个等价条件;（2）体上幂等矩阵A1,A2的线性组合A+ A2,A1-2也是幂等矩阵的充要条件;（3）体上幂等矩阵A1,A2的相关左线性组合c1A1+ c2A2及c1+ c2A2A1（其中c1,c2 ∈ KA1,A2）可逆性的充要条件.第四章主要研究了反对称反循环矩阵的性质,将域上反对称反循环矩阵的一些性质推广到了体上,得到了体上反对称反循环矩阵与对称循环矩阵、对称反循环矩阵、反循环矩阵之间的关系和体上反对称反循环矩阵在基本反循环矩阵下的线性表示;同时还得到了体上某矩阵为反对称反循环矩阵的充分条件、反对称反循环矩阵可交换的充分条件以及反对称反循环矩阵逆矩阵的相关性质.第五章对本文的内容进行了总结,并对以后的研究方向进行了展望.
张丽霞,骞俊杰,何思梦,唐玉玲[4]（2016）在《二元对称反循环矩阵的逆矩阵》文中进行了进一步梳理探讨了n阶二元对称反循环矩阵的相关性质,并给出了几类特殊的n阶二元对称反循环矩阵的求逆公式.
刘莹[5]（2016）在《几类广义循环矩阵的性质及其应用》文中研究说明循环矩阵类已经成为矩阵理论和应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向,在现代科学技术中被广泛地应用.对循环矩阵的深入研究,推进了矩阵理论知识,为其他学科的发展提供了比较好的数学计算方法,是一项非常有意义的工作.本篇论文主要研究了以下问题:1.首次研究了两类拟循环矩阵,即拟-1-循环矩阵和拟-m-循环矩阵.根据这两类拟循环矩阵的特殊形式得到判定一个矩阵为拟循环矩阵的充要条件,并讨论了拟循环矩阵的非奇异性、分解性和运算的封闭性.2.根据拟循环矩阵的特殊性质和最优化理论的知识,探讨了在其约束下矩阵方程组AX=B,XC=D的最小二乘解问题.证明了其解的存在性,并给出了解的一般表达形式.最后讨论了拟循环矩阵的特征值反问题,分别研究了在给出一个、两个和k个特征对的情况下,求相应的拟循环矩阵使得其特征对为所给的特征对的问题.3.讨论了更为特殊的Hankel-循环矩阵和Hankel-反循环矩阵的最小二乘问题及特征值反问题.考虑了在其约束下矩阵方程组AX =B,XC = D的最小二乘解问题.结合最优化理论和循环矩阵的性质,将其转化为简单的线性方程Ty = b的求解问题,得到了通解的表达式.进一步,证得系数矩阵T是一个与所求矩阵X相关联的循环矩阵,从而找到了解唯一的充分必要条件并给出了解的表达式.此外,借助于矩阵的广义1-范数,给出了有唯一解的判定条件.最后给出了特征值反问题中解存在的充要条件和解的显示表达.
朱睦正[6]（2016）在《鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法研究》文中认为大规模线性（代数）系统来源于很多的实际应用问题,如计算流体力学、电磁场计算、约束优化、数字图像处理和偏微分方程数值离散等.线性系统的求解对整个应用问题的解决具有至关重要的作用,其数值解法研究是科学与工程计算的核心问题之一,具有十分重要的理论意义和实际应用价值.面对实际问题中结构各异的线性系统,如何充分利用各自的特殊结构和性质来设计稳定、高效的求解方法是现代数值计算的重要方面,也是国内外数值工作者和工程技术人员研究的热点.本文研究了偏微分方程离散产生的结构化线性系统的数值解法.重点关注具有鞍点结构和Toeplitz结构的线性系统,通过研究直接法、矩阵分裂迭代法、Krylov子空间方法和预处理技术等,提出了一些快速、稳定的迭代解法和预处理子.全文分为七章.第一章主要介绍了鞍点和Toeplitz结构化线性系统的背景和研究意义,对问题的研究现状进行了综述,并概述了本文的主要工作和创新点.第二章研究了偏微分方程离散产生的非Hermitian鞍点问题的有效解法.我们在引入矩阵变换对鞍点问题进行降维的基础上,根据低维子线性系统系数矩阵的非Hermitian性,通过对鞍点问题的（1,1）-块矩阵进行Hermitian和反Hermitian分裂（HSS）,提出了基于HSS的非耦合迭代法.该方法通过降维和矩阵分裂迭代技术有效的提高了计算效率.理论研究了迭代法的收敛性,数值试验证实了新方法的有效性和稳定性.第三章将广义局部Hermitian和反Hermitian分裂（GLHSS）迭代法推广用于求解具有块2×2结构的线性系统.重点考虑了系数矩阵（1,2）-块与（2,1）-块的共轭转置不相等或（2,2）-块是Hermitian正定（HPD）矩阵的情形.同时,我们还讨论了迭代参数矩阵的选取及其对迭代法求解效率的影响.通过选取合适的参数矩阵,将一些已有迭代法（如局部HSS（LHSS）迭代和修正的局部HSS迭代法（MLHSS）等）统一表述,同时提出了几个新的迭代法.理论分析了推广方法的收敛性,数值试验证明了其有效性.第四章研究了差分离散偏微分方程所得到的鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法.充分利用系数矩阵所具有的Toeplitz结构,提出了一个新的矩阵分裂—循环剩余分裂,结合鞍点结构提出了局部循环剩余分裂（LCRS）迭代法求解鞍点问题,并进一步考虑使用LCRS分裂矩阵作为预处理子来加速GMRES方法的收敛速度.新方法能够借助快速Fourier变换实现循环矩阵对角化和Toeplitz矩阵与任意向量乘积的快速计算,节省迭代法和预处理子的计算量,提高计算效率.理论分析了LCRS迭代法的收敛性及其预处理子的有效性,数值试验表明LCRS迭代法及其预处理子加速GMRES方法在CPU时间方面有出色的表现.第五章研究了Crank-Nicholson离散分数阶扩散方程得到的Toeplitz结构化线性系统的数值求解方法.基于Lin（2014）提出的带状预处理子,我们提出了基于Strang和T.Chan循环近似的预处理子来加速CGNR和GMRES方法.新的预处理子能够充分利用快速Fourier变换实现预处理线性系统的快速求解,大大提高了计算效率.在扩散系数是非负函数的情形下证明了新预处理子的可逆性,在扩散系数是常数的情形下证明了预处理矩阵的谱聚集性.数值试验表明了基于循环近似的预处理子的迭代次数多于带状预处理子,但CPU时间明显少于后者,而这恰恰就是循环预处理子的优势所在.第六章研究了有限体积法离散分数阶扩散方程得到的Toeplitz结构化线性系统的数值求解方法.为进一步提高Wang（2013）提出的对角矩阵乘对称正定Toeplitz矩阵形式的预处理子的计算效率,我们提出了两个基于Strang循环近似、-循环近似的预处理子和两个基于Strang反循环近似、-反循环近似的预处理子来加速共轭梯度类迭代法的收敛性.理论分析了四个预处理子的可逆性,数值试验表明预处理子加速共轭梯度正规残量法（CGNR）,共轭梯度平方法（PCGS）和稳定的双共轭梯度法（Bi CGStab）效果非常明显.同时,对稳态Riesz空间分数阶扩散方程和测试的迭代法而言,基于循环近似的两个预处理子和基于反循环近似的两个预处理子的预处理效果没有明显差别.第七章对全文做了总结并对以后工作进行了展望.
刘桂波,罗大庸,谢才浪,郭迎,李门浩[7]（2016）在《一种新的快速反循环分块Jacket变换》文中指出受反循环矩阵和Jacket变换的启发,给出反循环分块Jacket变换对应的矩阵结构,进而获得了其任意阶的构造方法,丰富了Jacket变换的内容.随后基于克罗内克积及高阶反循环分块Jacket矩阵对应的置换矩阵,提出了该Jacket变换的前后向矩阵的一种递归形式的快速构造与分解算法.相比直接计算方法,该快速算法拥有更低的计算复杂度.而且本文提出的构造方法及快速算法也可以应用到其它具有类似结构的其它反循环分块Jacket变换中.
刘冰[8]（2014）在《关于第二类块r-循环矩阵的研究》文中提出循环矩阵中的第二类块r-循环矩阵是其一个十分重要分支，基于第二类块r-循环矩阵拥有优良的性质及结构，从而使其在统计分析、线性规划和组合数学等研究领域的应用有着极为重要的意义，因此深入研究循环矩阵的性质是具有重要意义，从中能够得出是非有价值的结果。本文在参阅了大量的相关文献的基础上，对第二类r-循环矩阵的性质进行了深入的探讨对比，从而更加细致的研究了第二类块r-循环矩阵，在此基础上提出了第二类块r-循环矩阵中的几种特殊类型的一些性质。本文的章节内容如下：第一章、第二章，阐述了循环矩阵的研究史，研究的主要目的、介绍了的范德蒙德矩阵和矩阵的Kronecker积、对第二类r-循环矩阵的性质进行了探讨。第三章主要对第二类块r-循环矩阵进行了深入的研究，首先，主要从第二类块r-循环矩阵成立的充要条件及其逆矩阵等各个方面，研究了第二类块r-循环矩阵的性质；然后，研究探讨了几种特殊结构的第二类块r-循环矩阵的性质。
李静[9]（2013）在《首尾和r-循环矩阵的性质研究及算法分析》文中进行了进一步梳理循环矩阵作为矩阵理论中一个较为重要和活跃的研究方向，具有良好的性质和结构。文章在前人对循环矩阵的研究基础上，将其进行进一步推广，并深入探讨其性质和有关算法。在众多数学学者研究的基础上，本文首先给出了首尾和r-循环矩阵的一些基本性质，研究了求解首尾和r-循环矩阵的逆与群逆的算法；探讨了求解首尾和r循环线性方程组及解首尾和r-循环矩阵开平方与开m次方的快速算法。
胡艳,秦克云,孙继忠[10]（2012）在《r-块置换因子循环矩阵及其逆矩阵的求法》文中研究表明给出了r-块置换因子循环矩阵的定义,借助于Kronecker积讨论了r-块置换因子循环矩阵的基本性质,并证明了r-块置换因子循环矩阵具有可交换性,即AB=BA。然后在r-块置换因子循环矩阵对角化的基础上给出了其行列式的计算方法以及非奇异矩阵的充要条件。最后,给出了非奇异的r-块置换因子循环矩阵的逆矩阵求法。
二、反循环矩阵及其逆矩阵的讨论（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、反循环矩阵及其逆矩阵的讨论（论文提纲范文）
（1）基于NTRU的数字签名方案研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究的背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 研究内容和成果 |
| 1.4 章节安排 |
| 第二章 基础知识 |
| 2.1 符号和定义 |
| 2.2 格 |
| 2.3 NTRU格 |
| 2.4 高斯分布 |
| 2.5 格上的困难问题 |
| 第三章 格上的陷门构造 |
| 3.1 MP12陷门 |
| 3.1.1 陷门构造 |
| 3.1.2 高斯抽样 |
| 3.2 环上的MP12陷门 |
| 3.3 NTRU格上的陷门 |
| 3.3.1 本原向量 |
| 3.3.2 基于NTRU的陷门构造 |
| 3.3.3 陷门派生 |
| 3.3.4 高斯抽样 |
| 第四章 格上的数字签名 |
| 4.1 数字签名 |
| 4.2 Hash-and-Sign数字签名方案 |
| 4.3 安全性分析 |
| 4.4 效率 |
| 第五章 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 硕士期间发表的论文 |
| 硕士期间参加的科研工作 |
| 硕士期间获得的奖励 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 符号表 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与现状 |
| 1.2 论文的研究内容 |
| 1.3 本文的创新之处 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 相关定义的介绍 |
| 2.2 相关引理的介绍 |
| 第三章 常用迭代法介绍 |
| 3.1 迭代法介绍 |
| 3.2 几类常见的古典迭代法 |
| 第四章 Toeplitz线性方程组的古典CSCS迭代法和GS迭代法 |
| 4.1 古典的CSCS迭代解法 |
| 4.2 古典的GS迭代解法 |
| 第五章 Toeplitz线性方程组带位移的CSCS迭代解法及其收敛性分析 |
| 第六章 数值实验 |
| 6.1 当分裂(?)=C~*+S正定时,CS迭代vs GS迭代 |
| 6.2 当分裂(?)=C~*+S不是正定矩阵时,CS(α)迭代vs GS迭代 |
| 6.3 当分裂(?)=C~*+S是正定矩阵时,CS(α)迭代vs CS迭代vs GS迭代 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录(攻读学位期间所发表的学术论文) |
（3）几类特殊矩阵相关性质的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 数学符号介绍 |
| 1.2 研究背景及意义 |
| 1.3 三类特殊矩阵的研究现状 |
| 1.4 本文的基本框架 |
| 第二章 反中心对称矩阵的相关性质 |
| 2.1 反中心对称矩阵的相关概念及其引理 |
| 2.2 反中心对称矩阵相关性质及其新证法 |
| 2.3 反中心对称矩阵求逆简便方法实例 |
| 2.4 本章小结 |
| 第三章 体上幂等矩阵的性质 |
| 3.1 体上矩阵理论简介 |
| 3.2 体上两个幂等矩阵线性组合的幂等性 |
| 3.3 体上两个幂等矩阵左线性组合可逆性 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 体上反对称反循环矩阵的性质 |
| 4.1 有关体上循环矩阵的基本概念与引理 |
| 4.2 体上反对称反循环矩阵的性质 |
| 4.3 本章小结 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（4）二元对称反循环矩阵的逆矩阵（论文提纲范文）
| 0引言 |
| 1预备知识 |
| 2主要性质及证明 |
| 3几类特殊的二元对称反循环矩阵的逆矩阵 |
| 4结束语 |
（5）几类广义循环矩阵的性质及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 本文的主要工作及创新点 |
| 1.3 预备知识 |
| 1.4 本文所用的记号 |
| 第2章 拟循环矩阵的性质 |
| 2.1 拟-1-循环矩阵的基本性质 |
| 2.2 拟-m-循环矩阵的基本性质 |
| 第3章 拟循环矩阵的Procrustes问题 |
| 3.1 拟-1-循环矩阵的Procrustes问题 |
| 3.2 拟-m-循环矩阵的Procrustes问题 |
| 3.3 数值算例 |
| 第4章 拟循环矩阵的特征值反问题 |
| 4.1 拟-1-循环矩阵的特征值反问题 |
| 4.2 拟-m-循环矩阵的特征值反问题 |
| 4.3 数值算例 |
| 第5章 Hankel-循环矩阵和Hankel反循环矩阵的Procrustes问题 |
| 5.1 Hankel-循环矩阵的Procrustes问题 |
| 5.2 Hankel-反循环矩阵的Procrustes问题 |
| 5.3 数值算例 |
| 第6章 Hankel-循环矩阵和Hankel-反循环矩阵的特征值反问题 |
| 6.1 Hankel-循环矩阵的特征值反问题 |
| 6.2 Hankel-反循环矩阵的特征值反问题 |
| 6.3 数值算例 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 附录A 攻读学位期间所发表的学术论文目录 |
| 致谢 |
（6）鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究的意义 |
| 1.2 鞍点问题数值解法 |
| 1.3 分数阶扩散方程中Toeplitz系统的数值解法 |
| 1.4 本文的研究内容、研究方法与创新点 |
| 1.5 本文的结构安排 |
| 第二章 基于HSS的非耦合迭代法求解鞍点问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 基于HSS的非耦合迭代法 |
| 2.3 数值试验 |
| 2.4 本章小结 |
| 附表 |
| 第三章 广义局部HSS迭代法求解块2×2线性系统 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 GLHSS迭代法的推广 |
| 3.3 特殊的GLHSS方法 |
| 3.4 数值试验 |
| 3.5 本章小结 |
| 附表 |
| 第四章 局部循环剩余分裂迭代法求解Toeplitz结构鞍点问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 循环剩余迭代法 |
| 4.3 局部循环剩余迭代法 |
| 4.4 Krylov子空间加速 |
| 4.5 数值试验 |
| 4.6 本章小结 |
| 附表 |
| 第五章 基于循环近似的预处理子加速求解FDE |
| 5.1 引言 |
| 5.2 Crank-Nicholson离散分数阶扩散方程 |
| 5.3 基于循环近似的预处理子 |
| 5.4 预处理矩阵的谱 |
| 5.5 数值试验 |
| 5.6 本章小结 |
| 第六章 基于循环与反循环近似的预处理子加速求解FDE |
| 6.1 引言 |
| 6.2 有限体积法离散Riesz空间分数阶扩散方程 |
| 6.3 基于循环近似和反循环近似的预处理子 |
| 6.3.1 基于循环近似和反循环近似的预处理子的构建 |
| 6.3.2 预处理子的可逆性 |
| 6.3.3 快速计算 |
| 6.4 数值试验 |
| 6.5 本章小结 |
| 附表 |
| 第七章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望及未来工作 |
| 参考文献 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（7）一种新的快速反循环分块Jacket变换（论文提纲范文）
| 1 引言 |
| 2 反循环分块Jacket变换矩阵的结构 |
| 3 反循环分块Jacket变换矩阵的构建 |
| 3.1 2阶反循环分块Jacket变换矩阵的构造 |
| 3. 2 n阶反循环分块Jacket变换矩阵的构造 |
| 4 快速算法 |
| 4. 1 快速构造算法 |
| 4. 1. 1 2n阶反循环分块Jacket快速构造 |
| 4. 1. 2 3n阶反循环分块Jacket快速构造 |
| 4. 1. 3 5n阶反循环分块Jacket快速构造 |
| 4. 1. 4 6n阶反循环分块Jacket快速构造 |
| 4. 2 快速分解算法 |
| 5 复杂度分析及数值比较实验 |
| 6 结束语 |
（8）关于第二类块r-循环矩阵的研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 符号说明 |
| 1 绪论及预备知识 |
| 1.1 循环矩阵的发展史和研究现状 |
| 1.1.1 基本循环矩阵 |
| 1.1.2 几类循环矩阵的概念 |
| 1.1.3 基本循环矩阵的性质 |
| 1.2 循环矩阵的基本运算 |
| 1.2.1 矩阵的 Kronecker-积 |
| 1.2.2 Fourier-矩阵和 Vandermonde 矩阵 |
| 2 第二类r-循环矩阵 |
| 2.1 第二类r-循环矩阵的概念 |
| 2.2 第二类r-循环矩阵的性质 |
| 3 第二类块 r-循环矩阵 |
| 3.1 第二类块r-循环矩阵的定义 |
| 3.2 第二类块r-循环矩阵的性质 |
| 3.3 几类特殊的第二类块 r-循环矩阵 |
| 3.3.1 块是数量矩阵的第二类块 r-循环矩阵 |
| 3.3.2 块是普通循环矩阵的第二类块 r-循环矩阵 |
| 3.3.3 第二类二重块 (r_1 ,r_2)-循环矩阵 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表的学术论文 |
（9）首尾和r-循环矩阵的性质研究及算法分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 引言 |
| 1 预备知识 |
| 1.1 几种常见的循环矩阵 |
| 1.2 置换矩阵 |
| 1.3 两个重要的多项式定理 |
| 1.4 本文内容及安排 |
| 2 首尾和 r-循环矩阵 |
| 2.1 首尾和 r-循环矩阵 |
| 2.2 求解首尾和 r-循环矩阵逆与广义逆的快速算法 |
| 2.3 算法与数值算例 |
| 3 首尾和 r-循环矩阵开方的快速算法 |
| 3.1 首尾和 r-循环矩阵开平方的快速算法 |
| 3.2 首尾和 r-循环矩阵开 m 次方的快速算法 |
| 3.3 算法与数值算例 |
| 3.3.1 首尾和 r-循环矩阵开平方的快速算法 |
| 3.3.2 首尾和 r-循环矩阵开 m 次方的快速算法 |
| 4 首尾和循环线性方程组的解与求解的快速算法 |
| 4.1 首尾和循环线性方程组有解的条件及解的形式 |
| 4.2 算法与数值算例 |
| 4.3 用线性方程组求首尾和 r-循环矩阵的逆 |
| 结论 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及科研成果 |
| 致谢 |
四、反循环矩阵及其逆矩阵的讨论（论文参考文献）
- [1]基于NTRU的数字签名方案研究[D]. 陈曼. 山东大学, 2021(12)
- [2]关于正定Toeplitz线性方程组定常迭代法的研究[D]. 秦小蓉. 长沙理工大学, 2017(01)
- [3]几类特殊矩阵相关性质的研究[D]. 兰文辉. 天津工业大学, 2017(08)
- [4]二元对称反循环矩阵的逆矩阵[J]. 张丽霞,骞俊杰,何思梦,唐玉玲. 兰州文理学院学报(自然科学版), 2016(03)
- [5]几类广义循环矩阵的性质及其应用[D]. 刘莹. 湖南大学, 2016(01)
- [6]鞍点和Toeplitz结构化线性系统的数值解法研究[D]. 朱睦正. 兰州大学, 2016(01)
- [7]一种新的快速反循环分块Jacket变换[J]. 刘桂波,罗大庸,谢才浪,郭迎,李门浩. 小型微型计算机系统, 2016(02)
- [8]关于第二类块r-循环矩阵的研究[D]. 刘冰. 青岛科技大学, 2014(04)
- [9]首尾和r-循环矩阵的性质研究及算法分析[D]. 李静. 西华大学, 2013(03)
- [10]r-块置换因子循环矩阵及其逆矩阵的求法[J]. 胡艳,秦克云,孙继忠. 重庆师范大学学报(自然科学版), 2012(04)