一、ON INDEFINITE SUBLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS（论文文献综述）
崔娜[1]（2021）在《几类非局部椭圆方程解的存在性与多解性》文中研究表明非局部问题的相关研究是偏微分方程中重要的课题之一,其在物理、化学、生物、金融等许多领域有着广泛的应用.本文研究了几类非局部椭圆方程解的存在性与多解性,其主要结果包含以下四个方面.线性算子的特征值理论在相应非线性问题的研究中扮演着非常重要的角色,特别是非线性椭圆型微分方程解的存在性,强烈地依赖于相应线性算子的特征值.为了研究如下带不定位势的分数阶Schrodinger方程（-Δ）su+V（x）u=f（x,u）,x ∈ RN,解的存在性,先讨论其对应的特征值问题（-Δ）su+V（x）u=λu,证明了存在一列趋于正无穷的特征值.基于此结果,在.f满足超线性次临界增长时,得到了上述方程单个非平凡解和无穷多大能量解的存在性.进一步,当f（x,u）=|u|25*-2u+βa（x）|u|q-2u（β>0,1<q<2）时,在权函数a的假设下,建立方程无穷多小能量解的存在性,将己有定号位势的结果推广到不定位势的情形.其次,考虑如下定义在全空间上带磁的分数阶Schrodinger方程ε2s（-Δ）sA/εS u+V（x）u=f（|u|2）uu,x ∈ RN,其中 ε 是一个正参数,s ∈（0,1）,N ≥ 3,V∈C（RN,R）和 A ∈ α ∈(0,1],分别为电势和磁势函数,V可以变号,f∈C1（R,R）超线性增长但不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件.先研究了其对应极限方程非负基态解的存在性,再结合集中紧性原理和山路定理得到此方程基态解的存在性.然后,研究如下带凹凸非线性项的分数阶Schrodinger-Poisson系统#12其中 λ 是一个参数,s,α ∈（0,1）且 2s+2α>3.当g（x,uu）=b（x）|u|q-2u（1<q<2）时,在关于函数V,f和b的假设之下,运用Ekeland变分原理和山路定理,证明了此系统存在至少两个非平凡解.另外,对于更一般的非线性项g,通过喷泉定理得到了此系统存在无穷多大能量解,将已有经典Schrodinger-Poisson系统的结果推广到非局部的情形.最后,为了考虑如下更一般的分数阶Laplacian方程（-Δ）psu=λg（x）|u|p2u+f（x,u）,x ∈ RN,解的存在性,先研究其对应的特征值问题（-Δ）p-u=λg（x）|u|p-2u,x ∈ RN,其中0<s<1<p<∞,N>sp.在g为不定权的情形下,构造一个新的分数阶Sobolev空间作为工作空间,证明此问题存在一列趋于正无穷的特征值,并且其主特征值是简单的,对应的特征函数在RN上可能是正的.基于此,当f（x,u）=ω（x）|u|q-2u-h（x）|u|r-2u（1<q<p<r）时,在权函数ω和h的假设之下,证明了上述方程存在无穷多非平凡解.值得一提的是,这里r可能大于临界Sobolev指数ps*=Np/N-ps.此外,也得到了此方程当f具有临界指数增长时非平凡解的存在性.
李沙[2]（2021）在《两类椭圆偏微分方程的节点解》文中进行了进一步梳理本文主要研究两类椭圆方程节点解的存在性和多重性.第一类是对数非线性椭圆方程,第二类是纯幂非线性椭圆方程.椭圆方程在流体力学,弹性力学,电磁学,几何学和变分法中都有应用.但是,对于很多椭圆方程来说,是无法求出精确解的.因此,定性的去研究解的一些性质成为人们解决椭圆方程的一个有效手段.根据内容本文分为以下五章:第一章概述了本文的研究背景,意义和研究现状,并简要介绍本文的主要工作.第二章给出了本文所需要的预备知识及相关引理.第三章在没有任何对称假设的情况下,研究了具有对数非线性和不定权函数的半线性椭圆方程:（?）其中Ω（?）Rn（n≥3）是一个具有光滑边界（?）Ω的有界区域,a∈C（Ω,R）且在Ω上变号.通过分解能量泛函的节点Nehari集,结合对数Sobolev不等式,利用约束变分法,定量形变引理及其变形,在势函数满足合适条件的情况下,得到方程的两个节点解.第四章研究了纯幂非线性椭圆方程:（?）其中Ω（?）Rn（n ≥3）是一个具有光滑边界（?）Ω的有界区域,λ是一个实参数,1<γ<n+2/n-2.此外,假定a（x）∈ C（Ω）且a（x）>0,b:Ω →R是光滑函数且在Ω上变号.当λ<λ1时,利用直接的方法证明了方程一个节点解的存在性（λ1是有界域Ω中一Δ的主特征值）.对于λ2<λ<λ1*的情况（λ1*是临界谱值）,是本章主要研究内容,借助于第二特征值和第二特征函数,给出势函数a（x）的一些合理假设,得到节点Nehari集相关子集的非空性.基于约束变分法,定量形变引理及其变形,证明了方程两个节点解的存在性.第五章为总结与展望,对本文进行了总结,并指出可以进行深入研究的相关问题.
张宇[3]（2020）在《特征值问题的下谱界及多网格离散》文中研究表明本文从两个角度探索特征值问题的有限元解.一方面,我们讨论下谱界,包括渐近下谱界和可保证下谱界:另一方面,我们讨论多网格离散,包括Ciarlet-Raviart混合法的二网格离散,多网格校正及自适应有限元方法.关于特征值问题的下谱界,首先我们讨论了d（d=2,3,···）维区域上变系数二阶椭圆算子及Stokes算子的渐近下谱界.使用四种非协调有限元（包括Crouzeix-Raviart,推广的Crouzeix-Raviart,旋转Q1及推广的旋转Q1有限元）,我们对非协调有限元特征值近似提出了一种校正方法,并证明了校正后的特征值从下方收敛于准确值.而且该校正值仍然保持与未校正特征值相同的收敛阶.这些新的结果移除了特征函数是奇异以及特征值问题系数是常数的限制.其次,关于d（d=2,3）维区域上变系数Steklov特征值问题和反散射中Steklov特征值问题,我们对Crouzeix-Raviart和推广的Crouzeix-Raviart有限元特征值近似执行新的校正,得到了与二阶椭圆及Stokes特征值问题相似的理论结果.最后,通过使用弱形式的极小极大原理,我们得到了流体力学中两个谱问题的可保证下谱界.该极小极大原理是由算子形式的原理推导而来.这两个谱问题分别是流固振动的Laplace模型和晃动问题.需注意的是,与该问题相关的双线性型在H1（?）中均是半正定的.我们通过对解空间及有限元空间增加限制来解决这一难点.关于多网格离散,首先,对于Rd（d=2,3）中带有固定边界条件的重调和特征值问题包括板振动问题及板屈曲问题,我们研究了Ciarlet-Raviart混合法基于移位反迭代的二网格离散方案.使用该方案可以将细网格上一个特征值问题的解归结为粗网格上一个特征值问题的解以及细网格上一个线性方程组的解.使用未被现有工作所覆盖的新的论证,我们证明了当网格尺寸H>h≥O（H2）时,结果解仍然保持渐近最优收敛精度.其次,我们提出一种多网格校正方案来求解一个新的Steklov特征值问题,即反散射中Steklov特征值问题.用这一方案,在细有限元空间上解一个非对称不定的特征值问题可归结为在细有限元空间上解一系列对称正定的边值问题及在粗有限元空间上解一系列非对称不定的特征值问题.我们证明了特征值及特征函数的误差估计.最后,我们进一步讨论了该问题的后验误差估计及自适应算法.我们对原特征函数、共轭特征函数及特征值引入了误差指示子.并且,使用G（?）rding’s不等式及共轭技巧来给出有限元特征函数误差的能量范数的上界和下界,以此表明指示子的可靠性和有效性.对于上述所考虑的特征值问题及提出的方法,我们均给出了与理论结果相符的数值实验.
刘伟[4]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中提出本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
李硕硕[5]（2020）在《带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性》文中研究表明本学位论文主要研究以下几类情形的非局部椭圆方程:非齐次非局部椭圆方程,加权的非齐次非局部椭圆方程,具周期位势的非局部椭圆方程和具高阶特征值扰动的非局部椭圆方程,利用变分方法得到了方程解的存在性和多解性.在第一章中,我们介绍了非局部椭圆方程的物理背景及国内外研究现状,并给出本文所需的预备知识以及主要结果.在第二章中,我们研究了非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性,其中0<μ<2,h∈H-1（R2）,h≠0,（?）在第三章中,我们研究了加权的非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性,其中μ>0,β>0,2β+μ≤2,h∈H-1（R2）,h≠0.在第四章中,我们研究了强不定的非局部椭圆方程解的存在性,其中0<μ<2,对于每个变量x1,x2,V（x）是以1为周期的连续函数,并且#12在第五章中,我们研究了非局部椭圆方程解的存在性,其中Ω是R2中的光滑有界区域,0<μ<2,λk是算子（?）的第k个特征值,k≥2.最后,我们列出了几个还需进一步探讨的问题.
刘泉[6]（2020）在《基于变分法的两类椭圆偏微分方程解的存在性与多解性》文中认为本硕士论文通过变分方法讨论了一类带有不定权函数的薛定谔方程正解的存在性和多解性以及一类带有p-Laplacian算子的超线性椭圆方程基态解的存在性。用到的定理和方法包括:集中紧性原理、山路定理、Nehari流形等。本文分为以下五个部分:绪论主要介绍所研究问题的背景和已有结果,以及本文的主要工作。第一章主要介绍一些本文涉及的基本知识,包括一些重要的不等式,基本定义,以及必要的引理和定理。第二章考虑如下一类方程（?）正解的存在性和多解性。证明了当a（x）,b（x）,f（x）满足一定的条件时,λ的取值范围决定了方程解的个数。第三章考虑一类含p-Laplacian算子的超线性椭圆方程狄利克雷边值问题（?）基态解的存在性。当非线性项f（x,u）满足适当条件,且λ介于第一特征值的一个右邻域时,运用Nehari流形的方法得到该问题至少存在一个基态解。第四章,对本文的主要工作和后续问题做出总结和展望。
谷丽华[7]（2020）在《几类非局部非线性椭圆方程解的存在性研究》文中研究说明本文通过使用变分法、局部形变、扰动方法、构造下降流不变集等方法分别研究和证明了分数阶的基尔霍夫型方程正解和变号解的存在性以及薛定谔-泊松系统变号解的存在性。全文共分五个章节,具体内容安排如下:第一章,概述所研究问题的背景及研究现状、介绍本文所用到的预备知识及用到的主要定理和本文的主要结果。第二章,用变分法、局部形变方法研究和证明了形如下面的分数阶基尔霍夫方程,（?）在临界和次临界两种情况下都存在正解。（?）（0.0.1）其中λ>0,α∈（0,1）。此结果是将文献[1]推广到分数阶情形下的结果。第三章,用扰动方法、变分法、构造下降流不变集方法研究和证明了在没有（AR）条件下形如下面分数阶基尔霍夫方程在R3中存在变号解。（?）（0.0.2）其中α ∈（3/4,1）,M（t）=（?）（s）ds,V:R3→R,f∈C1（R3,R）。此结果是将文献[2]推广到分数阶情形下的结果。第四章,在这一章,我们致力于研究以下薛定谔-泊松系统的变号解存在性。通过构建下降流不变集以及扰动方法,在λ很小的时候,获得了f在无穷远处是次二次时存在多个径向变号解,在二次时,至少存在一个变号解。（?）其中λ>0以及f在无穷远处是次二次或者是二次。第五章,针对本文做了总结和展望。
关宁[8]（2020）在《带不定权函数的分数阶p-Laplacian问题的解》文中研究表明本文研究了带不定权函数的分数阶p-Laplacian问题解的存在性与多解性,其中s ∈（0,1）,λ>0,n>ps,p≥2,Ω（?）Rn是一个有界的,具有光滑边界的开区域.a,b:Ω→R是连续的且是变号的.非局部算子（-△）ps定义如下:（-Δ）psu=2 P.V.∫Rn|u（x）-u（y）|p-2（u（x）-u（y））/|x-y|n+psdy,其中 P.V.表示 Cauchy主值,如果 p=2,（—△）ps=（-△）s.本文分别研究了 1<β<p和p<β<p*两种情况,其中p*=np/n-ps是分数阶Sobolev临界指数,当λ<λ1时,利用纤维映射和Nehari流形得到了在这两种情况下,上述问题单个解的存在性,其中λ1是如下相关特征值问题的第一特征值.若∫Ω-b（x）φ1βdx<0,和φ1是与λ1相对应的非负特征函数,则存在δ>0,使得当λ1<λ<λ1+δ时,所研究的问题存在多解.若λ=λ1,∫Ωb（x）φ1βdx<O,p<β<p*,则问题存在一个非负解.而且还研究了解的极限行为.
陈思雨[9]（2019）在《不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究》文中指出本文主要通过分歧理论和约束变分法,结合一些分析技巧,研究了带有不定非线性项的Kirchhoff型问题解的连通分支结构,解的存在性以及多解性.主要分为以下三章:第一章系统地介绍了本文的研究背景,并给出了分歧理论、变分法等的相关知识.第二章研究带有不定非线性项的Kirchhoff型问题（?）其中Ω是RN中有界光滑的区域,N=2,3,W（x）,V（x）∈L∞（Ω）,a（x）,b（x）∈Cγ（Ω）,γ∈（0,1）,a（x）≥a0>0,a0是常数,b（x）≥0.W在Ω上变号.在适当的条件下,运用局部和全局分歧理论,结合一些分析技巧,包括Rescaling方法、Liouville定理、Crandall-Rabinowitz局部分歧定理和Rabinowitz全局结构定理、椭圆方程特征值理论等,考虑了在V的三种不同情形下（包括V≡0;V不变号且V≡0;V变号）分歧点的存在性以及解集连通分支的局部和全局结构.将以前局部椭圆方程边值问题的相关结果推广到了Kirchhoff型问题上,并将解的先验估计的方法由局部的椭圆方程边值问题推广到了非局部的Kirchhoff型问题上.第三章研究了当a=b=1时带有不定非线性项的上述Kirchhoff型问题解的存在性以及多解性.在适当的条件下,通过变分方法,主要是Nehari流形和Ekeland变分原理,得到了解的存在性以及多解性的结果.推广了K.J.Brown等所得到的一些相关结果.
范松佩[10]（2019）在《一类次线性椭圆诺伊曼问题的正解》文中认为本文主要讨论下面方程（pa,q）正解的存在性与稳定性.其中Ω（?）RN（N ≥ 1）为有界光滑区域,0<q<1为参数,a（x）∈Lr（Ω）,r>N.首先,在适当的条件下,通过上下解方法我们可以得到方程（pa,q）有正解.然后,我们采用Lyapunov-Schmidt约化过程分歧技术,证明了存在q0=q0（a）>0,使得当q0<q<1时,方程（pa,q）有正解.且本文还证明了当q →1-时,正解uq的渐近行为以及稳定性.除此之外,当Ω为球和a为径向函数时,我们给出了a和q的一些条件以确保正解的存在性。
二、ON INDEFINITE SUBLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、ON INDEFINITE SUBLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS（论文提纲范文）
（1）几类非局部椭圆方程解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 前言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状及本文研究的问题 |
| 1.3 一些基本记号、定义和引理 |
| 1.4 结构安排 |
| 第二章 带不定位势的分数阶Schr?dinger方程解的存在性和多解性 |
| 2.1 引言及主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 解的存在性和多解性 |
| 第三章 带不定位势的分数阶磁Schr?dinger方程基态解的存在性 |
| 3.1 引言及主要结果 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 极限方程基态解的存在性 |
| 3.4 基态解的存在性 |
| 第四章 带凹凸非线性项的分数阶Schr?dinger-Poisson系统多解的存在性 |
| 4.1 引言及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 两个解的存在性 |
| 4.4 无穷多解的存在性 |
| 第五章 带不定权的分数阶-Laplacian方程解的存在性 |
| 5.1 引言及主要结果 |
| 5.2 预备知识 |
| 5.3 特征值问题 |
| 5.4 带凹凸非线性项的分数阶-Laplacian方程解的存在性 |
| 5.5 带不定权的临界分数阶-Laplacian方程解的存在性 |
| 参考文献 |
| 研究展望 |
| 在学期间的研究成果 |
| 致谢 |
（2）两类椭圆偏微分方程的节点解（论文提纲范文）
| 学位论文的主要创新点 |
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 课题背景及研究意义 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文研究内容 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 预备知识与相关引理 |
| 2.2 形变引理及其变形 |
| 第三章 具有对数非线性和不定权函数椭圆方程节点解的存在性 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 第一个节点解的存在性 |
| 3.4 第二个节点解的存在性 |
| 第四章 具有纯幂非线性椭圆方程节点解的存在性 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 预备引理 |
| λ_2时,两个极小元的存在性'>4.4 λ>λ_2时,两个极小元的存在性 |
| 4.5 证明主要结果 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 附录 |
| 致谢 |
（3）特征值问题的下谱界及多网格离散（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一部分 绪论及准备知识 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 特征值问题研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 本文工作 |
| 第二章 常用空间及符号 |
| 2.1 函数空间及范数的定义 |
| 2.2 有限元空间的定义 |
| 2.3 数值结果中常用符号 |
| 第二部分 特征值问题的下谱界 |
| 第三章 变系数二阶椭圆及Stokes算子的渐近下谱界 |
| 3.1 特征值问题及相关非协调有限元法 |
| 3.2 非协调元解误差估计及Poincaré不等式 |
| 3.3 特征值问题的渐近下谱界 |
| 3.4 数值实验 |
| 第四章 Steklov特征值问题的渐近下谱界 |
| 4.1 特征值问题及其相关非协调有限元方法 |
| 4.2 非协调元解的误差估计及迹不等式 |
| 4.3 特征值问题的渐近下谱界 |
| 4.4 数值实验 |
| 第五章 流体力学中特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.1 抽象特征值问题及相关性质 |
| 5.2 抽象特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.3 流体力学中两个特征值问题的可保证下谱界 |
| 5.4 数值实验 |
| 第三部分 特征值问题的多网格离散 |
| 第六章 重调和特征值问题Ciarlet-Raviart混合法的二网格离散 |
| 6.1 特征值问题及基本误差估计 |
| 6.2 基于移位反迭代的二网格离散方案 |
| 6.3 基于子空间迭代的二网格离散 |
| 6.4 数值实验 |
| 第七章 反散射中Steklov特征值问题的多网格校正 |
| 7.1 特征值问题及基本误差估计 |
| 7.2 一步校正 |
| 7.3 多网格校正方案 |
| 7.4 数值实验 |
| 第八章 反散射中Steklov特征值问题的自适应算法 |
| 8.1 基本误差估计 |
| 8.2 后验误差估计 |
| 8.3 边残差指示子 |
| 8.4 自适应算法及数值实验 |
| 第四部分 后记 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士期间主要研究成果 |
（4）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（5）带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 问题背景 |
| 1.2 主要结果 |
| 1.3 基本概念 |
| 第二章 一类非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性 |
| 2.1 问题介绍和主要结果 |
| 2.2 定理的证明 |
| 2.2.1 能量泛函的几何结构 |
| 2.2.2 (PS)序列的收敛性 |
| 2.2.3 解的存在性和多解性 |
| 第三章 一类加权的非齐次非局部椭圆方程解的存在性和多解性 |
| 3.1 问题介绍和主要结果 |
| 3.2 定理的证明 |
| 3.2.1 能量泛函的几何结构 |
| 3.2.2 (PS)序列的收敛性 |
| 3.2.3 能量泛函估计 |
| 3.2.4 解的存在性和多解性 |
| 第四章 一类具周期位势的非局部椭圆方程解的存在性 |
| 4.1 问题介绍和主要结果 |
| 4.2 定理的证明 |
| 4.2.1 预备知识 |
| 4.2.2 环绕结构和(PS)序列 |
| 4.2.3 解的存在性 |
| 第五章 一类具高阶特征值扰动的非局部椭圆方程解的存在性 |
| 5.1 问题介绍和主要结果 |
| 5.2 定理的证明 |
| 5.2.1 预备知识 |
| 5.2.2 能量泛函估计与(PS)序列有界性 |
| 5.2.3 解的存在性 |
| 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（6）基于变分法的两类椭圆偏微分方程解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 符号与约定 |
| 绪论 |
| 0.1 背景介绍 |
| 0.2 研究现状及已有结果 |
| 0.3 本文的主要工作 |
| 第1章 基本知识 |
| 1.1 Banach空间上的微分学 |
| 1.2 Sobolev空间的若干结论 |
| 1.3 一些常用的不等式 |
| 第2章 一类带有不定权函数的Schr?dinger方程正解的存在性和多解性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 (PS)_c条件 |
| 2.4 定理的证明 |
| 第3章 一类p-Laplacian方程Dirichlet问题的基态解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一些符号和说明 |
| 3.3 准备工作 |
| 3.4 定理的证明 |
| 第4章 结论 |
| 4.1 总结 |
| 4.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（7）几类非局部非线性椭圆方程解的存在性研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 问题的背景及研究现状 |
| 1.2 本文的记号 |
| 1.3 定义及引理 |
| 1.3.1 整数阶的Sobolev空间 |
| 1.3.2 Sobolev不等式与嵌入定理 |
| 1.3.3 分数阶的Laplacian及分数阶Sobolev空间 |
| 1.3.4 分数阶Sobolev空间的嵌入定理 |
| 1.3.5 其他定理 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第2章 全局非线性的分数阶Kirchhoff方程在次临界和临界情况下正解的存在性研究 |
| 2.1 问题简介及主要结果 |
| 2.1.1 问题简介 |
| 2.1.2 选题动机 |
| 2.1.3 主要结果 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.2.1 分数阶的Sobolev空间的范数和内积 |
| 2.2.2 变分框架 |
| 2.3 次临界情况 |
| 2.3.1 极限问题 |
| 2.3.2 山路值 |
| 2.3.3 解的存在性 |
| 2.4 临界情况 |
| 2.4.1 极限问题 |
| 2.4.2 山路值 |
| 2.4.3 解的存在性 |
| 第3章 全局非线性的分数阶Kirchhoff方程变号解的存在性研究 |
| 3.1 问题简介 |
| 3.1.1 分数阶Kirchhoff方程 |
| 3.1.2 问题简介 |
| 3.2 主要结果 |
| 3.2.1 主要问题 |
| 3.2.2 变分框架 |
| 3.2.3 存在性 |
| 3.3 解的存在性 |
| 3.3.1 扰动问题 |
| 3.3.2 下降流的不变子集 |
| 3.3.3 定理3.2.2的证明 |
| 第4章 在无穷远处具有次二次或二次增长的非线性Schrodinger-Poisson系统的变号解 |
| 4.1 问题简介及主要结果 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 定理4.1.1的证明 |
| 4.3.1 下降流不变集 |
| 4.3.2 多个变号解 |
| 4.4 定理4.1.2的证明 |
| 第5章 总结与讨论 |
| 5.1 本文总结 |
| 5.2 讨论与展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 攻读硕士学位期间主要科研成果简介 |
（8）带不定权函数的分数阶p-Laplacian问题的解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 引言 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究的问题及研究现状 |
| 1.3 本文主要结果 |
| 第二章 基本知识 |
| 2.1 一些基本定义 |
| 2.2 一些重要引理 |
| 第三章 分数阶p-Laplacian问题解的存在性与多解性 |
| 3.1 Nehari流形和纤维映射 |
| 3.2 p-次线性情况 |
| 3.3 p-超线性情况 |
| 研究展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（9）不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 基础知识 |
| 1.2.1 分歧理论 |
| 1.2.2 变分法 |
| 1.3 论文的结构安排 |
| 第二章 不定的Kirchhoff方程解集连通分支的性质 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 一些预备结果 |
| 2.3 V≡0 的情形 |
| 2.4 V不变号且V(?)0的情形 |
| 2.5 V变号的情形 |
| 2.5.1 正解的先验估计 |
| 2.5.2 解集连通分支的形状 |
| 第三章 不定的Kirchhoff方程的多解性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 一些预备结果 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（10）一类次线性椭圆诺伊曼问题的正解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 研究背景 |
| 第二章 预备知识 |
| 第三章 解的存在性分析 |
| 3.1 正解的存在性 |
| 3.2 解的有界性 |
| 第四章 分歧分析 |
| 4.1 稳定性 |
| 第五章 特定条件下解的存在性条件 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
四、ON INDEFINITE SUBLINEAR ELLIPTIC EQUATIONS（论文参考文献）
- [1]几类非局部椭圆方程解的存在性与多解性[D]. 崔娜. 兰州大学, 2021(09)
- [2]两类椭圆偏微分方程的节点解[D]. 李沙. 天津工业大学, 2021(01)
- [3]特征值问题的下谱界及多网格离散[D]. 张宇. 贵州师范大学, 2020(12)
- [4]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [5]带有指数临界增长的非局部椭圆方程解的存在性与多解性[D]. 李硕硕. 浙江师范大学, 2020(01)
- [6]基于变分法的两类椭圆偏微分方程解的存在性与多解性[D]. 刘泉. 福建师范大学, 2020(12)
- [7]几类非局部非线性椭圆方程解的存在性研究[D]. 谷丽华. 重庆交通大学, 2020(01)
- [8]带不定权函数的分数阶p-Laplacian问题的解[D]. 关宁. 兰州大学, 2020(01)
- [9]不定Kirchhoff型椭圆方程边值问题的一些研究[D]. 陈思雨. 江苏师范大学, 2019(12)
- [10]一类次线性椭圆诺伊曼问题的正解[D]. 范松佩. 兰州大学, 2019(09)